Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra by Tom M. Apostol

By Tom M. Apostol

Now on hand in paperback! An creation to the calculus, with a very good stability among concept and process. Integration is handled ahead of differentiation--this is a departure from latest texts, however it is traditionally right, and it's the top approach to identify the real connection among the quintessential and the spinoff. Proofs of all of the very important theorems are given, usually preceded by way of geometric or intuitive dialogue. This moment version introduces the mean-value theorems and their purposes past within the textual content, contains a therapy of linear algebra, and comprises many new and more uncomplicated routines. As within the first version, an engaging old creation precedes each one vital new inspiration.

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Example text

Definiere nun die Menge V durch V WD fv 2 N j x < vg. Diese ist wegen n0 2 V nicht leer. Nach dem Wohlordnungssatz (vgl. z. B. 6) gibt es dann ein kleinstes Element k 2 V . Setze n WD k 1 2 N0 , dann gilt nach Konstruktion von V nDk 1 Ä x < k D n C 1: Fall 3: x < 0; x 62 Z: Setze y WD x. Dann gibt es nach Fall 2 ein k00 2 N0 mit k00 Ä y D x < k00 C 1: Da x 62 Z gilt sogar k00 < x < k00 C 1 , k00 1 < x < k00 : 1 2 Z, dann gilt Setze nun n WD k00 n D k00 1 < x < k00 D n C 1 und daher auch n Ä x < n C 1: Eindeutigkeit: Angenommen, es gäbe zwei verschiedene n; n0 2 Z, die die Bedingung erfüllen.

P Hinweis: Orientieren sie sich an dem Beweis, dass 2 nicht rational ist (vgl. z. B. 9). p p p b) pb pa < b a a; b 2 R; b > a > 0; c) 2 C 3 ist irrational. p Hinweis: Sie dürfen benutzen, dass 6 irrational ist (vgl. Teil a)). a) Lösung p a) Behauptung: p6 ist irrational. Annahme: p6 ist rational. ) p ist gerade ) p ist gerade ) 9 p 0 2 Z W 2p 0 D p/ ) 4p 02 D 2 3q 2 ) 2p 02 D 3q 2 ) q 2 ist gerade, denn 3 ist ungerade ) q ist gerade. Das ist Widerspruch zur Voraussetzung, dass p, q teilerfremd sein sollen, denn p und q haben als gerade Zahlen den gemeinsamen Teiler 2.

M C 1/ C k: Also ist mit m auch m C 1 2 M . Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Behauptung also für alle natürlichen Zahlen. 30 1 Grundlagen, Zahlen, Folgen, Reihen c) Sei m < n. m C l/ D k m C k l ) k n > k m: d) Es gilt nach Definition k < m , 9l 2 N W k C l D m : Wegen l 2 N gilt l 1 und damit mDkCl k C 1: Aufgabe 28 I Teilbarkeitsregeln Seien m; n; k 2 N. i n C j k/ 8 i; j 2 N. i n C j k/ 8 i; j 2 N. Aufgabe 29 I Primteiler p 2 N heißt Primteiler von n 2 N, wenn p Primzahl und Teiler von n ist, pjn.

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