Aufgabensammlung Analysis 1: mit mehr als 500 Übungen und by Hans-Jürgen Reinhardt

By Hans-Jürgen Reinhardt

Diese umfangreiche Aufgabensammlung zur research I ist das ideale Begleitbuch für Studierende und Dozenten der Mathematik. Ob Sie ausgearbeitete Übungen zur Klausurvorbereitung oder für Ihre Vorlesung suchen, in diesem Kompendium werden Sie fündig!
Das vorliegende Buch deckt hierbei das volle Alphabet der research I ab - von A wie Ableitung bis Z wie Zahlenfolge - und bereitet das fabric sowohl theoretisch als auch anhand konkreter Beispiele auf.

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Definiere nun die Menge V durch V WD fv 2 N j x < vg. Diese ist wegen n0 2 V nicht leer. Nach dem Wohlordnungssatz (vgl. z. B. 6) gibt es dann ein kleinstes Element k 2 V . Setze n WD k 1 2 N0 , dann gilt nach Konstruktion von V nDk 1 Ä x < k D n C 1: Fall 3: x < 0; x 62 Z: Setze y WD x. Dann gibt es nach Fall 2 ein k00 2 N0 mit k00 Ä y D x < k00 C 1: Da x 62 Z gilt sogar k00 < x < k00 C 1 , k00 1 < x < k00 : 1 2 Z, dann gilt Setze nun n WD k00 n D k00 1 < x < k00 D n C 1 und daher auch n Ä x < n C 1: Eindeutigkeit: Angenommen, es gäbe zwei verschiedene n; n0 2 Z, die die Bedingung erfüllen.

P Hinweis: Orientieren sie sich an dem Beweis, dass 2 nicht rational ist (vgl. z. B. 9). p p p b) pb pa < b a a; b 2 R; b > a > 0; c) 2 C 3 ist irrational. p Hinweis: Sie dürfen benutzen, dass 6 irrational ist (vgl. Teil a)). a) Lösung p a) Behauptung: p6 ist irrational. Annahme: p6 ist rational. ) p ist gerade ) p ist gerade ) 9 p 0 2 Z W 2p 0 D p/ ) 4p 02 D 2 3q 2 ) 2p 02 D 3q 2 ) q 2 ist gerade, denn 3 ist ungerade ) q ist gerade. Das ist Widerspruch zur Voraussetzung, dass p, q teilerfremd sein sollen, denn p und q haben als gerade Zahlen den gemeinsamen Teiler 2.

M C 1/ C k: Also ist mit m auch m C 1 2 M . Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Behauptung also für alle natürlichen Zahlen. 30 1 Grundlagen, Zahlen, Folgen, Reihen c) Sei m < n. m C l/ D k m C k l ) k n > k m: d) Es gilt nach Definition k < m , 9l 2 N W k C l D m : Wegen l 2 N gilt l 1 und damit mDkCl k C 1: Aufgabe 28 I Teilbarkeitsregeln Seien m; n; k 2 N. i n C j k/ 8 i; j 2 N. i n C j k/ 8 i; j 2 N. Aufgabe 29 I Primteiler p 2 N heißt Primteiler von n 2 N, wenn p Primzahl und Teiler von n ist, pjn.

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